通过 Wigner 变换证明 Boltzmann 方程与 Boltzmann 层级的局部适定性

我们利用线性 Schrödinger 方程的色散性质，证明了定义在空间域 $\mathbb{R}^d$（$d\geq 2$）上的 Boltzmann 方程及相关 Boltzmann 层级的局部适定性。证明基于（逆）Wigner 变换与时空 Fourier 变换的使用。初始数据 $f_0$ 的范数是 Sobolev 空间 $L^2_v H^\alpha_x$ 的加权版本，其中 $\alpha \in \left( \frac{d-1}{2},\infty\right)$。我们的主要结果是：针对截断 Maxwell 分子和硬球的 Boltzmann 方程的局部适定性，以及针对截断 Maxwell 分子（但不包括硬球）的 Boltzmann 层级的局部适定性；后一结果在初始数据没有任何因式分解假设的情况下成立。