环面上耦合KdV-KdV系统Cauchy问题的适定性及临界指数集

本文研究在环面 $\mathbb{T}$ 上、于空间 $${\cal H}^s_1:=H^s_0 (\mathbb{T})\times H^s_0 (\mathbb{T}), \quad {\cal H}^s_2:=H^s_0 (\mathbb{T})\times H^s(\mathbb{T}), \quad {\cal H}^s_3:=H^s (\mathbb{T})\times H^s_0 (\mathbb{T}), \quad {\cal H}^s_4:=H^s (\mathbb{T})\times H^s (\mathbb{T})$$ 中提出的耦合KdV-KdV系统 $$u_t+a_1u_{xxx} = c_{11}uu_x+c_{12}vv_x+d_{11}u_{x}v+d_{12}uv_{x}, \quad u(x,0)= u_0(x)$$ $$v_t+a_2v_{xxx}= c_{21}uu_x+c_{22}vv_x +d_{21}u_{x}v+d_{22}uv_{x}, \quad v(x,0)=v_0(x)$$ 的Cauchy问题的适定性。对 $k=1,2,3,4$, 证明了对于给定的 $a_1$, $a_2$, $(c_{ij})$ 和 $(d_{ij})$, 存在唯一的 $s^*_k \in (-\infty, +\infty]$, 称为临界指数, 使得系统在 $\cal{H}^s_k$ 中对 $s>s^*_k$ 解析适定, 而当 $s<s^{*}_k$ 时作为解析适定性证明之关键的双线性估计失效。将临界指数 $s^*_k$ 视为系数 $a_1$, $a_2$, $(c_{ij})$ 和 $(d_{ij})$ 的函数, 其值域 $\cal{C}_k$ 称为系统在空间 $\cal{H}^s_k$ 中解析适定性的临界指数集。借助数论中丢番图逼近的一些经典结果, 我们可辨识出 \mbox{$ {\cal C}_1= \left \{ -\frac12, \infty \right\} \bigcup \left \{ \alpha: \frac12\leq \alpha\leq 1 \right \}$ } \quad\text{and}\quad \mbox{${\cal C}_q= \left \{ -\frac12, -\frac14, \infty \right\} \bigcup \left \{ \alpha: \frac12\leq \alpha\leq 1 \right \}$ $\quad$ for $\quad$ $q=2,3,4$.} 这与 $R$ 情形形成鲜明对比, 在 $R$ 情形中空间 $H^s (R)\times H^s (R)$ 中解析适定性的临界指数集 ${\cal C}$ 恰由四个数组成: ${\cal C}=\left \{ -\frac{13}{12}, -\frac34, 0, \frac34 \right \}.$