高阶KdV型方程柯西问题的尖锐适定性与不适定性

在本文中，我们研究具有低正则性数据且 $\lambda\geq 1$ 的高阶KdV型方程 \begin{eqnarray*} u_{t}+(-1)^{j+1}\partial_{x}^{2j+1}u + \frac{1}{2}\partial_{x}(u^{2}) = 0,j\in N^{+},x\in\mathbf{T}= [0,2\pi \lambda) \end{eqnarray*} 的柯西问题。首先，我们证明周期高阶KdV方程的柯西问题在 $H^{s}(\mathbf{T})$ 中当 $s\geq -j+\frac{1}{2},j\geq2$ 时是局部适定的。通过使用一些新的Strichartz估计和一些新的函数空间，我们还证明了周期高阶KdV方程的柯西问题在 $H^{s}(\mathbf{T})$ 中当 $s<-j+\frac{1}{2},j\geq2$ 时是不适定的，其意义为解映射是 $C^{3}$ 的。本文的结果改进了 \cite{H} 中 $j\geq2$ 的结果。