五阶 KdV 方程的粗糙解

我们考虑源自 Korteweg-de Vries (KdV) hierarchy 的五阶方程的 Cauchy 问题：$u_t + u_{xxxxx} + c_1u_{x} u_{xx} + c_2u u_{x} = 0$，$x,t \in \R$。我们证明了 $H^s(\R)$（其中 $s \geq 5/4$）的解的先验界，以及 $s \geq 2$ 时的局部适定性。该方法采用短时 $X^{s,b}$ 空间，由 Ionescu-Kenig-Tataru 在 KP-I 方程的研究背景下首次提出。此外，我们在局部化的 $X^{s,b}$ 结构上使用权，以减少低频具有大调制时高低频相互作用的贡献。作为守恒律的直接结果，我们得出 KdV hierarchy 中的五阶方程在能量空间 $H^2$ 中是全局适定的。