五阶修正 KdV 方程的适定性与不适定性

我们考虑 Sobolev 空间上五阶修正 KdV 方程的初值问题：\partial_t u - \partial_x^5u + c_1\partial_x^3(u^3) + c_2u\partial_x u\partial_x^2 u + c_3uu\partial_x^3 u =0, u(x,0)= u_0(x)，其中 $u:R\timesR \to R$ 且 $c_j$ 为实数。我们通过 $X^{s,b}$ 空间上的压缩原理证明了在 H^s(R) (s \geq 3/4) 中的局部适定性。此外，我们证明了从数据到解的解映射在 $H^{3/4}(R)$ 以下不再是均匀连续的。反例是通过用三次 NLS 方程逼近五阶 mKdV 方程获得的。