有界函数背景下广义 KdV 方程的局部适定性

我们在对非线性项 $f(x)$ 的一般假设下，于 $L^\infty_{t,x}$-函数 $\Psi(t,x)$ 的背景上证明了广义 Korteweg-de Vries 方程在 $H^s(\mathbb{R})$（$s>1/2$）中的局部适定性，其中 $\Psi(t,x)$ 满足某些适当条件。作为我们估计的推论，我们还获得了解在 $H^s(\mathbb{R})$ 中的无条件唯一性。该结果不仅为我们提供了在 Kink 等背景周围求解 gKdV 方程的框架，也提供了在周期解背景周围——即考虑周期解的局部非周期扰动——求解的框架。作为直接推论，我们得到了 $s>1/2$ 时 gKdV 方程在 $H^s(\mathbb{R})$ 中的无条件唯一性。我们还证明了在能量空间 $H^1(\mathbb{R})$ 中的整体存在性，情形为非线性项满足 $\vert f''(x)\vert\lesssim 1$。