各向异性Sobolev空间中二维广义Kadomtsev-Petviashvili-I方程的柯西问题

本文的目标有三方面。首先，我们证明广义KP-I方程 \begin{eqnarray*} u_{t}+|D_{x}|^{\alpha}\partial_{x}u+\partial_{x}^{-1}\partial_{y}^{2}u+\frac{1}{2}\partial_{x}(u^{2})=0,\alpha\geq4 \end{eqnarray*} 在各向异性Sobolev空间 $H^{s_{1},\>s_{2}}(\R^{2})$ 中局部适定，其中 $s_{1}>-\frac{\alpha-1}{4}$ 且 $s_{2}\geq 0$。其次，我们证明当 $4\leq \alpha \leq5$ 时，该问题在 $H^{s_{1},\>0}(\R^{2})$ 中全局适定，其中 $s_{1}>-\frac{(\alpha-1)(3\alpha-4)}{4(5\alpha+3)}$。最后，我们证明当 $\alpha>5$ 时，该问题在 $H^{s_{1},\>0}(\R^{2})$ 中全局适定，其中 $s_{1}>-\frac{\alpha(3\alpha-4)}{4(5\alpha+4)}$。我们的结果改进了Saut和Tzvetkov (J. Math. Pures Appl. 79(2000), 307-338.) 以及Li和Xiao (J. Math. Pures Appl. 90(2008), 338-352.) 的结果。