负色散广义Ostrovsky方程的Cauchy问题

本文致力于研究广义Ostrovsky方程的Cauchy问题 \begin{eqnarray*} u_{t}-\beta\partial_{x}^{3}u-\gamma\partial_{x}^{-1}u+\frac{1}{k+1}(u^{k+1})_{x}=0,k\geq5 \end{eqnarray*} 其中 $\beta\gamma<0,\gamma>0$。首先，我们证明广义Ostrovsky方程的Cauchy问题在 $H^{s}(\mathbb{R})\left(s>\frac{1}{2}-\frac{2}{k}\right)$ 中局部适定。进而，我们证明广义Ostrovsky方程的Cauchy问题在 $X_{s}(\mathbb{R}): =\|f\|_{H^{s}}+\left\|\mathscr{F}_{x}^{-1}\left(\frac{\mathscr{F}_{x} f(\xi)}{\xi}\right)\right\|_{H^{s}}\left(s>\frac{1}{2}-\frac{2}{k}\right).$ 中局部适定。最后，我们证明对于属于 $X_{s}(\mathbb{R})(s>\frac{3}{2})$ 的数据，当旋转参数 $\gamma$ 趋于零时，广义Ostrovsky方程Cauchy问题的解收敛于广义KdV方程的解。主要困难在于具有负色散的Ostrovsky方程的相位函数 $\beta\xi^{3}+\frac{\gamma}{\xi}$ 存在零奇点。