广义 Ostrovsky 方程的空间衰减与非线性平滑

本文致力于研究广义 Ostrovsky 方程 \begin{eqnarray*} u_{t}-\beta\partial_{x}^{3}u-\gamma\partial_{x}^{-1}u+\frac{1}{k+1}(u^{k+1})_{x}=0,k\geq5 \end{eqnarray*}，其中 $\beta<0,\gamma>0$。首先，利用混合 Lebesgue 空间中的稠密性定理，我们证明了当 $s>1/2,b>1/2$ 时，$X_{s,b}\hookrightarrow C(\mathbb{R};H^{s}(\mathbb{R})) \hookrightarrow C(\mathbb{R};L_{x}^{\infty})$。其次，我们给出了线性 Ostrovsky 方程收敛问题的一个新证明，这与定理 1.1（带粗糙数据和随机数据的 Ostrovsky 方程收敛问题，Indiana Univ. Math. J. 71(2022), 1897-1921.）的证明略有不同。第三，我们研究了广义 Ostrovsky 方程的逐点收敛问题。第四，对于广义 Ostrovsky 方程 Cauchy 问题的解 $u$，我们证明了 $u=u_{1}+u_{2},t\in[-\delta,\delta]$，且 $u_{2}$ 比 $u$ 具有更好的正则性，其中 $u_{1}$ 是 $u$ 的线性部分，$u_{2}$ 是非线性积分部分。第五，我们研究了广义 Ostrovsky 方程的非线性平滑和一致收敛问题。最后，当数据 $f$ 属于 $H^{s}(\mathbb{R})(s>\frac{1}{2}-\frac{2}{k+1},k\geq6)$ 且 $\lim\limits_{|x|\rightarrow{\infty}}f=0$ 及 $\mathscr{F}_{x}(U(t)f)\in L^{1}(\mathbb{R})$ 时，对于 $t\in [-\delta,\delta]$，我们证明了 $\lim\limits_{|x|\rightarrow{\infty}}u=0$。关键要素包括高低频技术、与低频相关的极大函数估计以及一些可借助 Stein 复插值定理证明的 Strichartz 估计。