关于 $\partial_{x}^{3}+\partial_{x}^{-1}$ 的正交Strichartz估计及密度函数收敛问题

本文研究了与 $\partial_{x}^{3}+\partial_{x}^{-1}$ 相关的正交Strichartz估计及密度函数的收敛问题。首先，当 $\gamma_{0}\in\mathfrak{S}^{\beta}(\dot{H}^{s})$ 且 $\frac{1}{4}\leq s<\frac{1}{2}, 0<\alpha\leq 1$, 且 $1\leq\beta<\frac{\alpha}{1-2s}$ 时，我们证明了 $\lim\limits_{t\longrightarrow0}\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\lambda_{j} \left|e^{-t(\partial_{x}^{3}+\partial_{x}^{-1})}f_{j}\right|^{2}=\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\lambda_{j} \left|f_{j}\right|^{2}$。这扩展了Yan等人（Indiana Univ. Math. J. 71(2022), 1897-1921）的定理1.1。此外，我们给出与 $\partial_{x}^{3}+\partial_{x}^{-1}$ 相关密度函数发散集的 Hausdorff 维数，namely ${\rm dim_{H}}D(\gamma_{0})\leq (1-2s)\beta$，这扩展了Zhao等人（Acta Math. Sci. Ser. B (Engl. Ed.) 42(2022), 1607-1620）的定理1.1。