波动方程发散集的维数

我们考虑当 $f \in H^s(\mathbb R^d)$ 时，点态收敛 $\lim_{t\rightarrow 0} e^{it\sqrt{-\Delta}} f(x) = f(x)$ 失效的发散集的豪斯多夫维数。我们特别证明了Barcel\'o、Bennett、Carbery和Rogers \cite{BBCR} 对 $d=3$ 所提出的猜想，并改进了高维 $d\ge4$ 的先前结果。我们还表明，关于 $f\to e^{it\sqrt{-\Delta}} f$ 带测度 $dt\,d\mu(x)$ 的Strichartz型估计，本质上等价于对 $\widehat \mu$ 的球平均的估计，而后者在Falconer距离集问题中已被广泛研究。该等价性为B. Liu和K. Rogers最近的成果提供了捷径。