与类格集相关的非各向同性 Falconer 距离问题的端点界

设 $S \subset {\mathbb R}^d$ 包含于单位球内。令 $\Delta(S)=\{||a-b||:a,b \in S\}$，即 $S$ 的欧几里得距离集。Falconer 猜想若 $S$ 的 Hausdorff 维数大于 $\frac{d}{2}$，则 $\Delta(S)$ 具有正的 Lebesgue 测度。他还基于整数格给出了一个例子，表明指数 $\frac{d}{2}$ 无法改进。本文中我们证明了针对此类基于整数格的集合的 Falconer 距离猜想。在四维及更高维中，我们达到端点，证明了若 $S$ 的 Hausdorff 维数等于 $\frac{d}{2}$，所得距离集的 Lebesgue 测度仍为正。在三维中我们相差一个对数。更一般地，我们考虑 $K$-距离集 $\Delta_K(S)=\{{|a-b|}_K: a,b \in S\}$，其中 ${|\cdot|}_K$ 是由光滑对称凸体 $K$ 定义的范数所诱导的距离，该凸体边界具有处处非零的 Gaussian 曲率。我们证明了我们的端点结果在此设定下仍成立，进一步说明了曲率在此类问题中的作用。