由 ${\Bbb R}^d$ 的子集确定的方向集

给定 $E \subset \mathbb{R}^d$, $d \ge 2$, 定义 ${\mathcal D}(E) \equiv {(x-y)/|x-y|: x,y \in E} \subset S^{d-1}$, 即由 $E$ 确定的方向集。我们证明，如果 $E$ 的 Hausdorff 维数大于 $d-1$，则 $\sigma({\mathcal D}(E))>0$，其中 $\sigma$ 表示 $S^{d-1}$ 上的曲面测度。这一结果是精确的，因为当 $E$ 是一个 $(d-1)$ 维超平面时结论不成立。该结果可视为 Pach、Pinchasi 和 Sharir (\cite{PPS04}, \cite{PPS07}) 关于 $\mathbb{R}^d$ 中有限子集所确定角度的近期结果的连续模拟。另定义 ${\mathcal A}(E)=\{\theta(x,y,z): x,y,z \in E\}$，其中 $\theta(x,y,z)$ 是 $x-y$ 与 $y-z$ 之间的夹角。我们利用为处理方向问题而发展的技术以及 Wolff 和 Erdogan 先前关于距离集的结果，证明了如果 $E$ 的 Hausdorff 维数大于 $(d-1)/2+1/3$，则 ${\mathcal A}(E)$ 的 Lebesgue 测度为正。该结果可视为 Apfelbaum 和 Sharir (\cite{AS05}) 近期结果的连续模拟。在本文末尾，我们展示了连续结果可用于恢复并在某些情况下改进离散设定中针对大类有限点集的相应结果的指数。特别地，我们证明，满足特定离散能量条件（定义 \ref{adaptablemama}）的有限点集 $P \subset {\Bbb R}^d$, $d \ge 3$，确定了 $\gtrapprox \# P$ 个不同的方向和 $\gtrapprox {(\# P)}^{6/(3d-1)}$ 个不同的角度。在二维情形下，角度数的下界为 $\gtrapprox \# P$。