关于欧氏空间子集所确定的体积

给定 $E \subset {\Bbb R}^d$，定义 $E$ 的 \emph{体积集} 为 ${\mathcal V}(E)= \{det(x^1, x^2, ... x^d): x^j \in E\}$。在 $\R^3$ 中，我们证明：若 $E\subset \Bbb R^3$ 的Hausdorff维数大于13/5，或者 $E$ 是形如 $E=B_1\times B_2\times B_3$ 且 $B_j\subset\R,\, dim_{\mathcal H}(B_j)>2/3,\, j=1,2,3$ 的乘积集，则 ${\mathcal V}(E)$ 具有正的Lebesgue测度。我们证明，对于 $\hde>d-1$ 的Salem子集 $E\subset\R^d$，其 $\V(E)$ 同样成立该结论，并给出在离散组合几何中的应用。