关于由欧几里得空间子集确定的球体半径

本文研究了 $E\subset\R^d$ 的 Hausdorff 维数需要多大，才能确保由 $E$ 确定的 $(d-1)$ 维球体的半径集具有正 Lebesgue 测度的问题。我们还研究了给定半径的邻域重复出现的频率问题。我们获得了两个结果。首先，通过应用 \cite{mul} 中开发的用于研究 Falconer 型问题的一般机制，我们证明了如果 $\dH(E)>d-1+\frac{1}{d}$，则给定半径的邻域重复出现的次数不会超过统计界限；在 $\R^2$ 中，该维数阈值是尖锐的。其次，通过证明一个交集定理，我们证明了对于几乎处处 $a\in\R^d$，如果 $\dH(E)>d-1$，则由 $E$ 确定的以 $a$ 为中心的 $(d-1)$ 维球体的半径集必须具有正 Lebesgue 测度，这是该问题的一个尖锐界限。