小半径球面上 Borsuk 猜想的反例

本文讨论了经典的 Borsuk 猜想，该猜想指出欧几里得空间 ${\mathbb R}^d$ 中任何直径为 1 的集合都可以被分成 $d+1$ 个直径更小的部分。在过去的二十年里，人们在高维空间中提出了许多该猜想的反例。然而，所有这些反例都是直径为 1 且位于半径接近 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 的球面上的集合。本文的主要结果如下：{\it 对于任意 $r > \frac{1}{2}$，存在一个 $d_0$，使得对所有 $d \ge d_0$，可以在球面 $S_r^{d-1} \subset {\mathbb R}^d$ 上找到 Borsuk 猜想的一个反例。}