欧几里得空间中的 Borsuk 与 Ramsey 型问题

我们简要综述了关于 (1) 直径图与超图，以及 (2) 几何 Ramsey 理论的问题与结果。我们也对这两个领域做出了一些微小的贡献。通过推广 Kahn 和 Kalai 否定 Borsuk 猜想的著名定理，我们证明了对于任意整数 $r\ge 2$，存在 $\varepsilon=\varepsilon(r)>0$ 和 $d_0=d_0(r)$ 具有如下性质。对于每个 $d\ge d_0$，存在一个直径为 $1$ 的有限点集 $P\subset\mathbb{R}^d$，使得无论我们如何用少于 $(1+\varepsilon)^{\sqrt{d}}$ 种颜色对 $P$ 的元素着色，总能找到 $r$ 个同色点，其中任意两点距离为 $1$。