奇圈的多色 Ramsey 数

我们证明，对任意正整数 $r$，存在整数 $k$ 以及 $K_{2^{k}+1}$ 边的一种 $k$-着色，其中不含长度小于 $r$ 的单色奇圈。这在 Erd\H{o}s 和 Graham 的问题上取得了进展，并回答了 Chung 的一个提问。我们利用这些着色给出了奇圈的 $k$-色 Ramsey 数的新下界，并证明对所有奇数 $r$ 以及所有足够大的 $k$，存在常数 $\epsilon = \epsilon(r) > 0$ 使得 $R_{k}(C_{r}) > (r-1)(2+\epsilon)^{k-1}$。