关于圈的多色拉姆齐数

对于图$L$和整数$k\geq 2$，$R_k(L)$表示最小的整数$N$，使得对于完全图$K_N$的任何$k$边染色，都存在一种颜色$i$，其对应的颜色类包含$L$作为子图。Bondy和Erdős猜想，对于$n$个顶点上的奇圈$C_n$，当$n>3$时，$$R_k(C_n) = 2^{k-1}(n-1)+1$$。他们证明了$k=2$的情况，并给出了上界$R_k(C_n)\leq (k+2)!n$。最近，当$n$很大时，该猜想在$k=3$的情况下得到了验证。在这篇注记中，我们证明对于每个整数$k\geq 4$，当$n\to\infty$时，$$R_k(C_n)\leq k2^kn+o(n)$$。当$n$为偶数时，Yongqi、Yuansheng、Feng和Bingxi给出了一个构造，表明$R_k(C_n)\geq (k-1)n-2k+4$。这里我们证明，如果$n$为偶数，则当$n\to\infty$时，$$R_k(C_n)\leq kn+o(n)$$。