关于圈的 size-Ramsey 数

对于给定的图 $G_1,\ldots,G_k$，大小-拉姆齐数 $\hat{R}(G_1,\ldots,G_k)$ 是最小整数 $m$，使得存在具有 $m$ 条边的图 $H$，在 $H$ 的每种用颜色 $1,\ldots,k$ 进行的 $k$-边着色中，对某个 $1\leq i\leq k$，$H$ 包含颜色为 $i$ 的 $G_i$ 的单色拷贝。当 $G_1=\cdots=G_k=G$ 时，我们将 $\hat{R}(G_1,\ldots,G_k)$ 记为 $\hat{R}_{k}(G)$。Haxell、Kohayakawa 和 \L{}uczak 证明了圈 $C_n$ 的 size-Ramsey 数关于 $n$ 是线性的，即对于某个常数 $c_k$ 有 $\hat{R}_{k}(C_{n})\leq c_k n$。他们的证明基于 Szemer\'{e}di 的正则引理，因此未知具体的常数 $c_k$。在本文中，我们给出了圈的大小-拉姆齐数的各种上界。我们给出了 $\hat{R}_{k}(C_{n})\leq c_k n$ 的一个避免使用的正则引理的替代证明。对于两种颜色，我们证明对于足够大的 $n$，有 $\hat{R}(C_{n},C_{n}) \leq 10^6\times cn,$ 其中若 $n$ 为偶数则 $c=843$，否则 $c=113482$。