圈诱导尺寸拉姆齐数的有效界

图 $H$ 的诱导尺寸拉姆齐数 $\hat{r}_\text{ind}^k(H)$ 是指一个(宿主)图 $G$ 可能具有的最小边数,使得对其边的任意 $k$ 着色,均存在 $H$ 的一个单色拷贝,且为 $G$ 的诱导子图。1995 年,Haxell、Kohayakawa 与 Luczak 在其开创性论文中证明,对于圈,这些数对任何常数种颜色均为线性的,即对某些 $C=C(k)$ 有 $\hat{r}_\text{ind}^k(C_n)\leq Cn$。常数 $C$ 源于正则引理的使用,且对 $k$ 具有塔状依赖。本文显著改进了这些界,证明当 $n$ 为偶数时 $\hat{r}_\text{ind}^k(C_n)\leq O(k^{102})n$,从而对 $k$ 仅获得 $C$ 的多项式依赖。我们还证明对奇数 $n$ 有 $\hat{r}_\text{ind}^k(C_n)\leq e^{O(k\log k)}n$,这几乎匹配 $e^{\Omega(k)}n$ 的下界。最后,我们证明普通(非诱导)尺寸拉姆齐数满足对奇数 $n$ 有 $\hat{r}^k(C_n)=e^{O(k)}n$。这大幅改进了先前最佳的 $e^{O(k^2)}n$ 结果,且除指数中隐含常数外已是最佳可能。为达成结果,我们给出了一种新的宿主图构造,粗略而言,将任务化简为在具局部稀疏性的图中寻找近似给定长度的圈。