长分解图的多色诱导大小Ramsey数

对于正整数 $k$ 和图 $H$，$k$ 色诱导大小Ramsey数 $\hat{R}_{\mathrm{ind}}(H, k)$ 是指在存在图 $G$（具有 $m$ 条边）且满足：对于 $G$ 的任意 $k$ 色染色，图 $G$ 都包含 $H$ 作为诱导子图的单色拷贝的最小整数 $m$。对于边集为 $E(H)$ 且函数 $\sigma:E(H)\to \mathbb{N}$ 的图 $H$，其分解图 $H^\sigma$ 通过将每个 $e \in E(H)$ 替换为长度为 $\sigma(e)$ 的路径获得。我们证明：对于所有整数 $k, D \geq 2$，存在常数 $c=c(k, D)$ 使得如下结论成立。设 $H$ 为最大度为 $D$ 的任意图，设 $H^\sigma$ 为 $H$ 的分解图，且 $\sigma(e) > c \log_D n$ 对每个 $e \in E(H)$ 成立，其中 $n$ 为 $H^\sigma$ 的阶数。则 $\hat{R}_{\mathrm{ind}}(H^\sigma,k)=e^{O(k\log k)} D^{9}(\log D)\, n$。若每个 $\sigma(e)$ 为偶数且大于 $c \log_D n$，则该界可改进为 $\hat{R}_{\mathrm{ind}}(H^\sigma,k)=O(k^{342} (\log k)^9D^{9} \log D )n$。我们还给出长分解图非诱导大小Ramsey数的改进界。