星图与路图的多色Ramsey数

对于给定的简单图 $H_1,H_2,\dots,H_c$，多色Ramsey数 $R(H_1,H_2,\dots,H_c)$ 定义为最小的正整数 $n$，使得对于完全图 $K_n$ 的任意边分解 $\{G_i\}^c_{i=1}$，至少有一个 $G_i$ 含有同构于 $H_i$ 的子图。设 $m,n_1,n_2,\dots,n_c$ 为正整数且 $\Sigma=\sum_{i=1}^{c}(n_i-1)$。文献中已得到 $R(K_{1,n_1},\dots,K_{1,n_c},P_m)$ 的一些界与精确值。Wang (Graphs Combin., 2020) 猜想：若 $\Sigma\not\equiv 0\pmod{m-1}$ 且 $\Sigma+1\ge (m-3)^2$，则 $R(K_{1,n_1},\ldots, K_{1,n_c}, P_m)=\Sigma+m-1$。在本文中，当 $m\leq\Sigma$、$\Sigma\equiv k\pmod{m-1}$ 且 $2\leq k \leq m-2$ 时，我们给出了 $R(K_{1,n_1},\dots,K_{1,n_c},P_m)$ 的一个新下界及若干精确值。这些结果部分证实了 Wang 的猜想。