关于路的三色 Ramsey 数

设 $G_1, G_2, ..., G_t$ 为图。多色 Ramsey 数 $R(G_1, G_2, ..., G_t)$ 是最小的正整数 $n$，使得若完全图 $K_n$ 的边被划分为 $t$ 个不相交的颜色类从而得到 $t$ 个图 $H_1,H_2,...,H_t$，则至少有一个 $H_i$ 包含一个同构于 $G_i$ 的子图。在本文中，我们证明了若 $(n,m)\neq (3,3), (3,4)$ 且 $m\geq n$，则 $R(P_3,P_n,P_m)=R(P_n,P_m)=m+\lfloor \frac{n}{2}\rfloor-1$。由此可得，对于 $m\geq n\geq 3$，有 $R(P_3,mK_2,nK_2)=2m+n-1$。