关于紧密路径的尺寸-Ramsey数

对于任意 $r\geq 2$ 和 $k\geq 3$，$k$-一致超图 $\mathcal{G}$ 的 $r$-色尺寸-Ramsey数 $\hat R(\mathcal{G},r)$ 是最小整数 $m$，使得存在具有 $m$ 条边的 $k$-一致超图 $\mathcal{H}$，且对 $\mathcal{H}$ 的边用 $r$ 种颜色任意染色均产生一个 $\mathcal{G}$ 的单色副本。令 $\mathcal{P}_{n,k-1}^{(k)}$ 表示具有 $n$ 个顶点的 $k$-一致紧密路径。Dudek、Fleur、Mubayi 和 R\H{o}dl 证明了紧密路径的尺寸-Ramsey数 $\hat R(\mathcal{P}_{n,k-1}^{(k)}, 2) = O(n^{k-1-\alpha} (\log n)^{1+\alpha})$，其中 $\alpha = \frac{k-2}{\binom{k-1}{2}+1}$。在本文中，我们改进了他们的界，证明了对于所有 $k\geq 3$ 和 $r\geq 2$，有 $\hat R(\mathcal{P}_{n,k-1}^{(k)}, r) = O(r^k (n\log n)^{k/2})$。