具有一致松弛度的单调k一致有序路径的在线大小Ramsey数

有序超图是顶点具有指定线性次序的超图 $H$，且有序超图 $G$ 在 $H$ 中的出现必须尊重 $V(G)$ 上的指定次序。在在线 Ramsey 理论中，Builder 迭代地给出边，Painter 必须立即着色。有序超图 $G$ 的 $t$ 色在线大小 Ramsey 数 $\tilde R_t (G)$ 是 Builder 为迫使使用 $t$ 种颜色的 Painter 产生 $G$ 的单色拷贝，所需给出的边的最小数目（在大的有序顶点集上）。单调紧路径 $P_r^{(k)}$ 是具有 $r$ 个顶点的有序超图，其边为所有 $k$ 个连续顶点的集合。我们得到了 $\tilde R_t (P_r^{(k)})$ 的良好界。令 $m=r-k+1$（即 $P_r^{(k)}$ 的边数），我们证明 $m^{t-1}/(3\sqrt t)\le\tilde R_t (P_r^{(2)})\le tm^{t+1}$。对一般的 $k$，平凡上界为 ${R \choose k}$，其中 $R$ 是 $k$ 一致（有序）超图中所有 $t$ 着色均包含 $P_r^{(k)}$ 的最少顶点数（且为高度 $k-2$ 的塔）。我们证明 $R/(k\lg R)\le\tilde R_t(P_r^{(k)})\le R(\lg R)^{2+\epsilon}$，其中 $\epsilon$ 为任意正常数且 $t(m-1)$ 充分大。当 $t$ 比 $m/\log m$ 增长更快时，我们的上界改进了先前结果。我们还将结果推广到 $\ell$-松弛单调路径，其中每条后继边在前一条边之后 $\ell$ 个顶点处开始。