给定大小的超图拉姆齐数

一个 $k$-一致超图 $H$ 的 $q$-色拉姆齐数是最小整数 $N$，使得对 $N$ 个顶点上的完全 $k$-一致超图的任意 $q$-染色都包含 $H$ 的一个单色拷贝。这些数的研究是组合数学（Combinatorics）的核心课题之一。1973 年，Erdős 和 Graham 提出将图的拉姆齐数作为其边数函数来最大化。受此问题启发，我们研究超图的类似问题。对于固定的 $k \ge 3$ 和 $q \ge 2$，我们证明具有 $m$ 条边的 $k$-一致超图的最大可能 $q$-色拉姆齐数至多为 $\mathrm{tw}_k(O(\sqrt{m}))$，其中 $\mathrm{tw}$ 表示塔函数。我们还给出一个构造，表明该上界对 $q \ge 4$ 是紧的。这解决了 Conlon、Fox 和 Sudakov 的一个问题。他们此前证明了 $k \geq 4$ 时的上界和 $k=3$ 时的下界。尽管在图的情形中紧性只需考虑适当大小的团即可简单得出，但对于更高一致性，该构造相当复杂，是通过使用扩张图（expander graphs）中的路径得到的。