关于三部 3-一致超图的有序拉姆齐数

对于整数 $k \geq 2$，有序 $k$-一致超图 $\mathcal{H}=(H,<)$ 是一个 $k$-一致超图 $H$ 连同其顶点集上的一个固定线性序 $<$。两个有序 $k$-一致超图 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{G}$ 的有序拉姆齐数 $\overline{R}(\mathcal{H},\mathcal{G})$ 是最小的 $N \in \mathbb{N}$，使得 $N$ 个顶点上的有序完全 $k$-一致超图 $\mathcal{K}^{(k)}_N$ 的超边的任意红蓝着色都包含 $\mathcal{H}$ 的蓝色副本或 $\mathcal{G}$ 的红色副本。有序拉姆齐数在有序图方面已有广泛研究，但关于更高一致性的有序超图知之甚少。我们提供了关于有序 3-一致超图有序拉姆齐数的一些首批非平凡估计。特别地，我们证明了对于所有 $d,n \in \mathbb{N}$ 以及每个具有最大度 $d$ 和区间色数 $3$ 的 $n$ 顶点有序 3-一致超图 $\mathcal{H}$，存在一个 $\varepsilon=\varepsilon(d)>0$ 使得 $$\overline{R}(\mathcal{H},\mathcal{H}) \leq 2^{O(n^{2-\varepsilon})}.$$ 事实上，我们证明了数 $\overline{R}(\mathcal{G},\mathcal{K}^{(3)}_3(n))$ 的这一上界，其中 $\mathcal{G}$ 是具有 $n$ 个顶点和最大度 $d$ 的有序 3-一致超图，$\mathcal{K}^{(3)}_3(n)$ 是具有大小为 $n$ 的连续颜色类的有序完全三部超图。通过证明对于某个固定的有序 3-一致超图 $\mathcal{H}$ 有 $\overline{R}(\mathcal{H},\mathcal{K}^{(3)}_3(n)) \geq 2^{\Omega(n\log{n})}$，我们表明该界限离真实情况不远。