交替路径及其变体的有序图 Ramsey 与 Turán 数

有序图是顶点集合带有全序的图。有序完全图 $K_N^<$ 是顶点集合为 $[N]$，且具有整数自然序的完全图。给定有序图 $H$，有序图 Ramsey 数 $R_<(H)$ 是最小整数 $N$，使得 $K_N^<$ 的每一红/蓝边着色均包含一个单色复制的 $H$，其顶点出现的相对顺序与 $H$ 中相同。Balko、Cibulka、Kr\'al 和 Kyn\v{c}l 询问：在所有顶点数为 $n$ 的有序路径中，有序 Ramsey 数是否被交替路径 $\mathrm{AP}_n$ 最小化——即顶点集合为 $[n]$，且沿路径依次出现的顶点为 $1, n, 2, n - 1,3, n-2,\dots$。受此问题启发，我们通过证明 $R_{<}(\mathrm{AP}_n)\leq \left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}+o(1)\right)n$ 来推进确定 $R_<(\mathrm{AP}_n)$ 值的工作。随后我们使用类似方法，确定 $\mathrm{AP}_n$ 的精确有序 Turán 数，并研究几种相关有序路径的有序 Ramsey 与 Turán 数。