若干稀疏图的有向 Ramsey 数

设 $H$ 为一个无有向环的有向图。$H$ 的有向 Ramsey 数记为 $\overrightarrow{r}(H)$，为最小整数 $N$，使得每张包含 $N$ 个顶点的比赛图中都包含 $H$ 的一个子图。Rosenfeld（JCT-B, 1974） conjectured 若 $H$ 为阶数足够大的循环，则 $\overrightarrow{r}(H)=|H|$，该猜测被 Zein 最近在 $|H|\geq 9$ 时证实；当 $H$ 为路径时也如此。注意 $\overrightarrow{r}(H)=|H|$ 意味着每个比赛图都包含 $H$ 作为 Spanning 子图，这引出一个有趣的问题：若 $H$ 为稀疏有向图时，$\overrightarrow{r}(H)=|H|$ 是否成立？S\'{o}s（1986）conjectured 若 $H$ 为一条包含路径起点作为一个端点的额外边的有向路径，则该等式成立，这一猜想被 Petrovi\'{c}（JGT, 1988）证实。本文表明，若 $H$ 为通过将一个抗有向循环的一个顶点与有向路径的一个端点识别得到的有向图，则 $\overrightarrow{r}(H)=|H|$。本文还讨论了其他一些包含一个循环的有向图的有向 Ramsey 数。