有向路径的大小拉姆齐数

给定图$H$，大小拉姆齐数$r_e(H,q)$是存在一个具有$m$条边的图$G$的最小边数$m$，使得$G$的每个$q$-着色都包含一个单色的$H$副本。我们研究了不允许反平行边的有向图中长度为$n$的有向路径的大小拉姆齐数。对于每个固定的颜色数，我们给出了几乎紧的界，表明对于每个$q\geq 1$，存在常数$c_1 = c_1(q),c_2$，使得$$\frac{c_1(q) n^{2q}(\log n)^{1/q}}{(\log\log n)^{(q+2)/q}} \leq r_e(\overrightarrow{P_n},q+1) \leq c_2 n^{2q}(\log {n})^2.$$我们的结果表明，有向图中路径的大小拉姆齐数渐近地大于一般有向图中路径的大小拉姆齐数。此外，与无向情形相反，有向路径的大小拉姆齐数多项式地依赖于颜色数。我们的方法还给出了$q \geq 3$时一般有向图中$r_e(\overrightarrow{P_n},q)$的紧界，扩展了先前的结果。