路径幂的尺寸拉姆齐数

给定图 $G$ 和 $H$ 以及正整数 $q$，若 $G$ 的边的每种 $q$-染色都包含 $H$ 的一个单色拷贝，则称 $G$ 是 $H$ 的 $q$-Ramsey，记为 $G\rightarrow (H)_q$。图 $H$ 的尺寸拉姆齐数 $\hat{r}(H)$ 定义为 $\hat{r}(H)=\min\{|E(G)|\colon G\rightarrow (H)_2\}$。回答 Conlon 的一个问题，我们证明对每个固定的 $k$，有 $\hat{r}(P_n^k)=O(n)$，其中 $P_n^k$ 是 $n$ 顶点路径 $P_n$ 的 $k$ 次幂（即顶点集为 $V(P_n)$ 且所有满足 $u$ 与 $v$ 在 $P_n$ 中距离至多为 $k$ 的边 $\{u,v\}$ 的图）。我们的证明是概率性的，但也可构造化。