路径幂的多元色尺寸Ramsey数

给定正整数$s$，若图$G$的每条边用$s$种颜色着色均包含$H$的单色拷贝，则称$G$为$H$的$s$-Ramsey图，记作$G\rightarrow (H)_s$。图$H$的$s$色尺寸Ramsey数定义为${\hat{r}}_s(H)=\min\{|E(G)|\colon G\rightarrow (H)_s\}$。我们证明，对所有正整数$k$和$s$，有${\hat{r}}_s(P_n^k)=O(n)$，其中$P_n^k$是$n$顶点路径$P_n$的$k$次幂。