Ramsey 数与图的大小

对于两个图 $H$ 和 $G$，Ramsey 数 $r(H, G)$ 是最小的正整数 $n$，使得 $n$ 个顶点的完全图 $K_n$ 的每种红蓝边着色都包含一个红色的 $H$ 副本或一个蓝色的 $G$ 副本。受 Erdos 和 Harary 问题的启发，本文研究了 Ramsey 数 $r(K_s, G)$ 如何依赖于图 $G$ 的大小。对于 $s \geq 3$，我们证明了对于每个具有 $m$ 条边的 $G$，有 $r(K_s,G) \geq c (m/\log m)^{\frac{s+1}{s+3}}$，其中 $c$ 是仅依赖于 $s$ 的某个正常数。这一下界改进了 Erdos, Faudree, Rousseau 和 Schelp 的早期结果，并且在 $s=3$ 时在多对数因子范围内是紧的。我们还研究了 $r(K_s,G)$ 作为 $m$ 的函数的最大值。