关于路、圈、条和星的三色拉姆齐数

对于给定的图 $G_{1}, G_{2}, ... , G_{k}, k \geq 2$，多色拉姆齐数 $R(G_{1}, G_{2}, ... , G_{k})$ 是最小的整数 $n$，使得如果我们用 $k$ 种颜色对 $n$ 阶完全图的边进行任意着色，那么对于某个 $1 \leq i \leq k$，它总是包含一个用第 $i$ 种颜色着色的 $G_{i}$ 的单色副本。二部拉姆齐数 $b(G_1, \cdots, G_k)$ 是最小的正整数 $b$，使得用 $k$ 种颜色对 $K_{b,b}$ 的边进行任意着色，对于某个 $i, 1 \le i \le k$，将导致在第 $i$ 种颜色中出现二部图 $G_i$ 的单色副本。即使对于非常特殊的图，关于 $R(G_{1},\ldots, G_{k})$ 的了解也非常少，存在大量未解决的情形。在本文中，通过使用二部拉姆齐数，我们获得了一些多色拉姆齐数的精确值。我们证明，对于足够大的 $n_{0}$ 以及以下三种情形：1. $n_{1}=2s$, $n_{2}=2m$ 且 $m-1<2s$，2. $n_{1}=n_{2}=2s$，3. $n_{1}=2s+1$, $n_{2}=2m$ 且 $s<m-1<2s+1$，我们有 $$R(C_{n_0}, P_{n_{1}},P_{n_{2}}) = n_0 + \Big \lfloor \frac{n_1}{2} \Big \rfloor + \Big \lfloor \frac{n_2}{2} \Big \rfloor -2.$$ 我们证明对于足够大的 $n$，$R(P_n,kK_{2},kK_{2})=n+2k-2$。此外，我们证明对于偶数 $k$，$R((k-1)K_{2},P_{k},P_{k})=3k-4$。对于 $s < m-1<2s+1$ 且 $t\geq m+s-1$，我们得到 $R(tK_{2},P_{2s+1},P_{2m})=s+m+2t-2$，其中 $P_{k}$ 是具有 $k$ 个顶点的路，而 $tK_{2}$ 是大小为 $t$ 的匹配。我们还提供了路、圈、条和星与其他图的其他多色拉姆齐数的一些新精确值或推广了已知结果。