双星的多色二部拉姆齐数

对于正整数 $n, m$，双星 $S(n,m)$ 是由两个星 $K_{1,n}$ 和 $K_{1,m}$ 的不相交并集加上连接它们中心的一条边组成的图。在边着色完全二部图中寻找双星的单色副本引起了广泛关注。$S(n,m)$ 的 $k$-色二部拉姆齐数，记为 $r_{bip}(S(n,m);k)$，是最小的整数 $N$，使得在完全二部图 $K_{N,N}$ 的边的任意 $k$-着色中，都存在 $S(n,m)$ 的单色副本。二部拉姆齐数的研究由 Faudree 和 Schelp 以及独立地由 Gy\'arf\'as 和 Lehel 于 20 世纪 70 年代初发起。$r_{bip}(S(n,m);k)$ 的精确值仅在 $n=m=1$ 时已知。在二部设定下应用 Tur\'an 论证，这里我们证明，如果 $k=2$ 且 $n\ge m$，或者 $k\ge3$ 且 $n\ge 2m$，则 $$r_{bip}(S(n,m);k)=kn+1.$$