$m$-二部拉姆齐数 $BR_m(H_1,H_2)$

在图 $G$ 的一个 $(G^1,G^2)$ 染色中，$G$ 的每条边要么属于 $G^1$，要么属于 $G^2$。对于两个二部图 $H_1$ 和 $H_2$，二部拉姆齐数 $BR(H_1, H_2)$ 是满足以下条件的最小整数 $b\geq 1$：对于完全二部图 $K_{b,b}$ 的每一个 $(G^1, G^2)$ 染色，结果要么是 $H_1\subseteq G^1$，要么是 $H_2\subseteq G^2$。从另一个角度看，对于二部图 $H_1$ 和 $H_2$ 以及一个正整数 $m$，$H_1$ 和 $H_2$ 的 $m$-二部拉姆齐数 $BR_m(H_1, H_2)$ 是使得 $K_{m,n}$ 的每一个子图 $G$ 都满足 $H_1\subseteq G$ 或 $H_2\subseteq \overline{G}$ 的最小整数 $n$。迄今为止，已有若干文章计算了 $m$-二部拉姆齐数 $BR_m(K_{2,2}, K_{2,2})$、$BR_m(K_{2,2}, K_{3,3})$ 和 $BR_m(K_{3,3}, K_{3,3})$ 的值。在本文中，我们确定了对于每个 $m\geq 2$，$BR_m(K_{2,2}, K_{4,4})$ 的精确值。