大圈图的二部 Ramsey 数

对于整数 $r\geq 2$ 与二部图 $H_i$（其中 $1\leq i\leq r$），二部 Ramsey 数 $br(H_1,H_2,\ldots,H_r)$ 是最小整数 $N$，使得完全二部图 $K_{N,N}$ 的任意 $r$-边染色对某个 $i$（$1\leq i\leq r$）在颜色 $i$ 中包含同构于 $H_i$ 的单色子图。我们证明：对于 $\alpha_1,\alpha_2>0$，有 $br(C_{2\lfloor \alpha_1 n\rfloor},C_{2\lfloor \alpha_2 n\rfloor})=(\alpha_1+\alpha_2+o(1))n$。我们还证明：若 $r\geq 3, \alpha_1,\alpha_2>0, \alpha_{j+2}\geq [(j+2)!-1]\sum^{j+1}_{i=1} \alpha_i$（$j=1,2,\ldots,r-2$），则 $br(C_{2\lfloor \alpha_1 n\rfloor},C_{2\lfloor \alpha_2 n\rfloor},\ldots,C_{2\lfloor \alpha_r n\rfloor})=(\sum^r_{j=1} \alpha_j+o(1))n$。对于 $\xi>0$ 与充分大的 $n$，设 $G$ 为具有二部划分 $\{V_1,V_2\}$、$|V_1|=|V_2|=N$ 的二部图，其中 $N=(2+8\xi)n$。我们证明：若 $\delta(G)>(\frac{7}{8}+9\xi)N$，则 $G$ 的任意 $2$-边染色包含 $C_{2n}$ 的一个单色拷贝。