奇圈对比小带宽二部图的三色拉姆齐数

图$\mathcal{H}=(W,E_\mathcal{H})$被称为具有至多$b$的{\em 带宽}，如果存在$W$的标号$w_1,w_2,\dots,w_n$使得对每条边$w_iw_j\in E_\mathcal{H}$有$|i-j|\leq b$。我们说$\mathcal{H}$是一个{\em 平衡$(\beta,\Delta)$-图}，如果它是一个二部图，带宽至多$\beta |W|$且最大度至多$\Delta$，并且它还有一个恰当的2-着色$\chi :W\rightarrow[2]$满足$||\chi^{-1}(1)|-|\chi^{-1}(2)||\leq\beta|\chi^{-1}(2)|$。本文证明，对每个$\gamma>0$和每个自然数$\Delta$，存在常数$\beta>0$使得对每个具有$n$个顶点的平衡$(\beta,\Delta)$-图$\mathcal{H}$，对所有足够大的奇数$n$有$$R(\mathcal{H}, \mathcal{H}, C_n) \leq (3+\gamma)n$$。该上界对几类图是紧的。令$\theta_{n,t}$为由$t$条长度均为$n$且共享相同端点的内部不交路径构成的图。作为一个推论，对每个固定的$t\geq 1$，$R(\theta_{n, t},\theta_{n, t}, C_{nt+\lambda})=(3t+o(1))n,$其中若$nt$为奇数则$\lambda=0$，若$nt$为偶数则$\lambda=1$。特别地，我们有$R(C_{2n},C_{2n}, C_{2n+1})=(6+o(1))n$，这是Figaj和{\L}uczak（2018）结果的一个特例。