无圈超图的色 Ramsey 数

假设 $T$ 是一个无圈 $r$-一致超图，其中 $r\ge 2$。我们定义 ($t$-色) 色 Ramsey 数 $\chi(T,t)$ 为具有以下性质的最小 $m$：如果任意 $m$-色 $r$-一致超图的边以任意方式被染成 $t$ 种颜色，则存在 $T$ 的单色副本。我们观察到 $\chi(T,t)$ 是良定义的，且 $$\left\lceil {R^r(T,t)-1\over r-1}\right \rceil +1 \le \chi(T,t)\le |E(T)|^t+1$$ 其中 $R^r(T,t)$ 是 $H$ 的 $t$-色 Ramsey 数。当 $T$ 为匹配或星时，我们给出了 $\chi(T,t)$ 的线性上界，证明了对于 $r\ge 2, k\ge 1, t\ge 1$，$\chi(M_k^r,t)\le (t-1)(k-1)+2k$ 且 $\chi(S_k^r,t)\le t(k-1)+2$，其中 $M_k^r$ 和 $S_k^r$ 分别是具有 $k$ 条边的 $r$-一致匹配和星。针对 $3$-一致超图改进了一般界。我们证明了 $\chi(M_k^3,2)=2k$，推广了 Alon-Frankl-Lov\'asz 定理的一个特例。我们还证明了 $\chi(S_2^3,t)\le t+1$，这对于 $t=2,3$ 是紧的。这是一个更一般结果的推论。我们将 $H^{[1]}$ 定义为 $H$ 的 1-相交图，其顶点代表超边，其边代表超边在恰好一个顶点处的相交。我们证明了对于任意 $3$-一致超图 $H$（假设 $\chi(H^{[1]})\ge 2$），$\chi(H)\le \chi(H^{[1]})$。该证明使用了 Brooks 定理的列表染色版本。