色谱 Ramsey 数与两种颜色的 Turán 密度

给定图 G，其 2 色 Turán 数 ex^{(2)}(n,G) 是指在 n 顶点图中，边数最多且其边可以用两种颜色避免单色 G 副本的图。令 π^{(2)}(G)=lim_{n→∞}ex^{(2)}(n,G)/binom{n}{2} 为 G 的 2 色 Turán 密度。区间 (0,1) 中的哪些实数可以表示为某个图的 2 色 Turán 密度？已知 π^{(2)}(G)=1-(R_χ(G)-1)^{-1},其中 R_χ(G) 为 G 的色度 Ramsey 数。然而，确定 R_χ(G) 的具体值具有挑战性。Burr、Erdős 和 Lovász 证明了对于任意 k 色图 G，都有 (k-1)^2+1 ≤ R_χ(G) ≤ R(k),其中 R(k) 为经典 Ramsey 数。这里的上界可被完全图实现，下界由 Zhu 构造的图实现。据我们所知，在一般 k 下，除了这两个之外，已无其他已知的 R_χ(G) 值。本文我们证明了在 k 色图 G 中存在 Ω(k) 个不同的 R_χ(G) 值。此外，我们确定了 4 色图的色度 Ramsey 数的新值。这为图的可能 2 色 Turán 密度提供了更多线索。