图的着色数与 achromatic 数的上界

Dvořák 等人引入了图 G 的 Randić 指数的一个变体，记为 R'(G)，其中 R'(G)=\sum_{uv\in E(G)}\frac 1 {\max\{d(u), d(v)\}}，且 d(u) 表示图 G 中顶点 u 的度数。图 G 的着色数 col(G) 是满足以下条件的最小整数 k：存在 G 的顶点线性序，使得每个顶点在其邻居中排在其前的数目少于 k。众所周知，对任意图 G 有 \chi(G)\leq col(G)，其中 \chi(G) 表示 G 的色数。在本注记中，我们证明对任意无孤立点的图 G，有 col(G)\leq 2R'(G)，且等号成立当且仅当 G 由将一个星形的中心与完全图的一个顶点重合而得到。这推广了某些已知结果。此外，我们给出了图的着色数与 achromatic 数的一些新的谱界。