图的边色变换指数

给定图或多重图 $G$，设 $\chi'_{trans}(G)$ 表示满足以下条件的最小整数 $n$：$G$ 的任意一个正常 $\chi'(G)$--边着色可以通过一系列变换变为 $G$ 的任意另一个正常 $\chi'(G)$--边着色，其中每个中间着色均为 $G$ 的正常 $\chi'(G)$--边着色，且每个变换最多涉及前一着色中的 $n$ 个颜色类。我们称 $\chi'_{trans}(G)$ 为 $G$ 的边色变换指数。本文证明，若 $G$ 是最大度至少为 4 的图，且其每个块均为二部图、串并联图、无弦图、轮图或围长至少为 7 的平面图，则 $\chi'_{trans}(G)\leq 4$。该界对串并联图和轮图是紧的。我们还证明，对所有平面图 $G$ 有 $\chi'_{trans}(G)\leq 8$，若 $G$ 为 Halin 图则 $\chi'_{trans}(G)\leq 5$，若 $G$ 为正则二部平面多重图则 $\chi'_{trans}(G)=2$。最后，我们考虑顶点着色的类似问题，并证明对任意 $k\geq 3$，存在无限图类 $\cal G$$(k)$，其色数为 $k$，使得对每个 $G\in \cal G$$(k)$，任意两个正常 $k$-顶点着色只能通过涉及全部 $k$ 个颜色类的一次变换相互转化。