1-平面图强色指数

图 $G$ 的色指数 $\chi'(G)$ 是使得 $G$ 容许边 $k$-染色且任意两条相邻边颜色不同的极小 $k$。图 $G$ 的强色指数 $\chi'_s(G)$ 是使得 $G$ 具有边 $k$-染色且满足任意两条距离至多为 2 的边颜色不同的极小 $k$。若图可绘于平面使得每条边至多被另一条边交叉，则称其为 1-平面图。本文中，我们证明任意最大平均度 $\bar{d}(G)$ 的图 $G$ 有 $\chi'_{s}(G)\le (2\bar{d}(G)-1)\chi'(G)$。作为推论，我们证明任意最大度 $\Delta$ 的 1-平面图 $G$ 有 $\chi'_{\rm s}(G)\le 14\Delta$，这改进了 Bensmail 等人的结果，其表明若 $\Delta\ge 56$ 则 $\chi'_{\rm s}(G)\le 24\Delta$。