k-退化图的强边色数

图 $G$ 的强边着色是一种正常边着色，其中每个颜色类都是一个导出匹配。图 $G$ 的强边色数 $\chiup_{s}'(G)$ 是 $G$ 的强边着色中的最小颜色数。在本注记中，我们改进了 D{\k e}bski 等人 [Strong chromatic index of sparse graphs, arXiv:1301.1992v1] 的结果，并证明了 $k$-退化图 $G$ 的强边色数至多为 $(4k-2) \cdot \Delta(G) - 2k^{2} + 1$。作为直接推论，$2$-退化图 $G$ 的强边色数至多为 $6\Delta(G) - 7$，这改进了 Chang 和 Narayanan [Strong chromatic index of 2-degenerate graphs, J. Graph Theory 73 (2013) (2) 119--126] 给出的上界 $10\Delta(G) - 10$。对于 $2$-退化图的一个特殊子类，我们获得了更好的上界，即如果 $G$ 是一个其所有 $3^{+}$-顶点导出森林的图，则 $\chiup_{s}'(G) \leq 4 \Delta(G) -3$；作为推论，每个极小 $2$-连通图 $G$ 的强边色数至多为 $4 \Delta(G) - 3$。此外，本注记中的所有结果在某种意义上都是最佳的。