关于图的强色数

一个 $n$ 顶点图 $G$ 的强色数 $\chi_S(G)$ 是最小的整数 $k$，使得在向 $G$ 添加 $k\lceil n/k\rceil-n$ 个孤立顶点后，并将所得图的顶点任意划分为大小均为 $k$ 的不相交子集 $V_1, \ldots, V_{\lceil n/k\rceil}$，能找到该图的一个正常的 $k$ 顶点着色，使得每个部分 $V_i$, $i=1, \ldots, \lceil n/k\rceil$ 恰好包含每种颜色的一个顶点。对于任意最大度数为 $\Delta$ 的图 $G$，易见 $\chi_S(G)\geq\Delta+1$。最近 Haxell 证明了 $\chi_S(G) \leq 3\Delta -1$。在本文中，我们改进了对于具有大最大度数的图的这一界。我们证明若 $\Delta \geq n/6$ 则 $\chi_S(G)\leq 2\Delta$，并证明该界是紧的。