图奇着色的新界

给定图 $G$、$G$ 的一个顶点着色 $\sigma$ 以及子集 $X\subseteq V(G)$,若颜色 $x \in \sigma(X)$ 在 $X$ 中出现奇数次,则称其为 $\sigma$ 中 $X$ 的\emph{奇}色。若 $\sigma$ 是正常着色且每个(开)邻域在 $\sigma$ 中都有一个奇色,则称 $\sigma$ 为 $G$ 的\emph{奇着色}。图 $G$ 的奇色数记为 $\chi_o(G)$,是存在奇着色 $\sigma \colon V(G)\to [k]$ 的最小 $k\in\mathbb{N}$。在最近一篇论文中,Caro、Petru\v sevski 与 \v Skrekovski 猜想:每个最大度 $\Delta\ge 3$ 的连通图其奇色数至多为 $\Delta+1$。我们证明该猜想渐近成立:对每个最大度为 $\Delta$ 的连通图 $G$,当 $\Delta \to \infty$ 时 $\chi_o(G)\le\Delta+O(\ln\Delta)$。我们还证明对每个 $\Delta$ 有 $\chi_o(G)\le\lfloor3\Delta/2\rfloor+2$。若进一步 $G$ 的最小度 $\delta$ 足够大,则有 $\chi_o(G) \le \chi(G) + O(\Delta \ln \Delta/\delta)$ 以及 $\chi_o(G) = O(\chi(G)\ln \Delta)$。最后,给定整数 $h\ge 1$,我们研究这些结果到 $h$-奇着色的推广,其中每个顶点 $v$ 必须在其邻域中至少有 $\min \{\deg(v),h\}$ 个奇色。我们的许多结果在某个乘法常数范围内是紧的。