关于无小度顶点的图的无冲突正常着色

图 $G$ 的一个正常顶点着色被称为无冲突的，如果在每个顶点的邻域中，某种颜色恰好出现一次；而如果对于 $G$ 的每个顶点，至少有 $h$ 种这样的颜色，则称其为 $h$-无冲突的。$G$ 的此类着色所需的最少颜色数分别记为 $\chi_{\rm pcf}(G)$ 和 $\chi_{\rm pcf}^h(G)$。已知对于最大度为 $\Delta$ 且 $h$ 非常接近 $\Delta$ 的图，$\chi_{\rm pcf}^h(G)$ 可以大到 $(h+1)(\Delta+1)\approx \Delta^2$。我们为这些参数提供了几个新的上界，适用于最小度 $\delta$ 足够大且 $h$ 与 $\delta$ 分离的图。特别地，我们证明如果 $\delta\gg\ln\Delta$ 且 $h\ll \delta$，则 $\chi_{\rm pcf}^h(G)\leq (1+o(1))\Delta$，并且对于正则图有 $\chi_{\rm pcf}(G)\leq \Delta+O(\ln \Delta)$。这些结果特别涉及 Caro、Petruševski 和 Škrekovski 的猜想，即对于每个最大度 $\Delta\geq 3$ 的连通图 $G$，有 $\chi_{\rm pcf}(G)\leq \Delta+1$，他们已证明如果 $\Delta\geq 1$，则 $\chi_{\rm pcf}(G)\leq \left\lfloor\frac{5\Delta}{2}\right\rfloor$。