平面图的正常无冲突可选性

图的正常无冲突着色是一种正常顶点着色，其中每个非孤立顶点的开邻域中至少包含一种恰好出现一次的颜色。对于非负整数 $k$，如果对于图 $G$ 的任意列表分配 $L$，其中每个顶点 $v \in V(G)$ 满足 $|L(v)| = d(v) + k$，都存在 $G$ 的一个正常无冲突着色 $\phi$ 使得对所有 $v \in V(G)$ 有 $\phi(v) \in L(v)$，则称图 $G$ 是正常无冲突 (degree+$k$)-可选的。最近，Kashima、Škrekovski 和 Xu 提出了两个关于正常无冲突可选性的相关猜想：第一个断言存在一个绝对常数 $k$ 使得每个图都是正常无冲突 (degree+$k$)-可选的，而第二个猜想通过将其限制为除了长度为 5 的环以外的连通图并将常数减小到 $k=2$ 来加强这一断言。在本文中，我们对三类图证实了第二个猜想：最大度至多为 4 的无 $K_4$-子式图、最大度至多为 4 的外 1-平面图，以及围长至少为 12 的平面图；对于这些图类以及所有外 1-平面图（无度数限制），我们还证实了第一个猜想。此外，我们证明了围长至少为 12 的平面图和外 1-平面图是正常无冲突 $6$-可选的。