强无冲突顶点连通 $k$-可着色问题的计算复杂性

我们研究了一种通过添加连通性约束来扩展的图着色问题。在顶点着色的图中，若一条路径上存在一种颜色在该路径的顶点上恰好出现一次，则称该路径为无冲突路径。一个连通图 $G$ 被称为强无冲突顶点连通 $k$-可着色，如果 $G$ 存在一种顶点 $k$-着色，使得 $G$ 中任意两个不同顶点之间存在一条无冲突的最短路径。我们证明了，在直径为 3、半径为 2、支配数为 3 的 3-可着色图中，判定给定图是否为强无冲突顶点连通 3-可着色的问题是 NP-完全的，并且在指数时间假设（ETH）下，在具有 $n$ 个顶点的此类受限输入图上不能在 $2^{o(n)}$ 时间内求解。与普通的 3-COLORING 问题相比，这一困难结果相当强：已知 3-COLORING 在支配数有界的图中可以在多项式时间内求解，并且在 ETH 假设下，在直径为 3、半径为 2 的 $n$ 顶点图中不能在 $2^{o(\sqrt{n})}$ 时间内求解。在积极方面，我们指出，给定分裂图或余二部图的具有最小颜色数的强无冲突顶点连通着色可以在多项式时间内计算。